Nous avons un seau d’émail qu’il convient d’appliquer à une densité de 1,42. C’est la consigne du céramiste qui m’a donné la recette ;).
Mais voilà, je viens de mesurer la densité de ma préparation, et elle est de 1,64.
Combien d’eau dois-je ajouter pour ramener la densité à la valeur souhaitable ?
Densité ou masse volumique ?
On parle plus souvent de densité d’application que de masse volumique. Pourtant, dans cet article, je parlerai de masse volumique et non de densité.
Les deux grandeurs sont souvent confondues, à tort : la densité n’a pas de dimension, c’est le rapport entre la masse volumique d’un corps et la masse volumique d’un corps de référence, l’eau, pour le cas qui nous occupe.
La confusion peut se comprendre : comme la masse volumique de l’eau vaut 1kg/l, un corps de masse volumique 3,7 kg/l aura une densité de 3,7.
Mais dès qu’on écrit des équations pour trouver solution à un problème, les unités (on dit les dimensions) deviennent une information capitale. Dès lors, on ne peut plus décemment confondre masse volumique et densité.
Voilà pourquoi je parlerai de masse volumique.
Les données du problème
Nous avons là un petit problème, de fait, très simple à résoudre. Quelques équations, on triture un peu, et c’est plié !
Voyons donc les données, les équations, les inconnues.
Mise en équation
Soient
- v_{1}, m_{1}, \rho_{1}, respectivement les volume, masse et masse volumique de la préparation de départ contenue dans le seau ;
- v_{2}, m_{2}, \rho_{2}, respectivement les volume, masse et masse volumique de la préparation finale qui tient toujours dans le seau (espérons) ;
- v_{e}, m_{e}, \rho_{e}, respectivement les volume, masse et masse volumique de l’eau qu’on ajoute.
Ces grandeurs sont reliées par les équations suivantes :
(1)\kern{50pt}\rho_{1}=\dfrac{m_{1}}{v_{1}}
(2) \kern{50pt}\rho_{2}=\dfrac{m_{2}}{v_{2}}
(3) \kern{50pt}\rho_{e}=\dfrac{m_{e}}{v_{e}}
(4)\kern{50pt}m_{2}=m_{1}+m{e}
(5)\kern{50pt}v_{2}=v_{1}+v{e}
Ce qu'on connaît et ce qu'on cherche
On cherche v_{e}, le volume d’eau à ajouter.
On connait ou on peut mesurer :
- les trois grandeurs masse, volume et masse volumique de départ ;
- la masse volumique de l’eau ;
- la masse volumique d’arrivée, celle qu’on veut atteindre.
Le jeu consiste donc à exprimer v_{e} en fonction de ces grandeurs connues.
Trois possibilités
De ma préparation de départ, je dois extraire deux données. Par commodité, je peux préférer mesurer :
- la masse et le volume
- la masse et la masse volumique
- le volume et la masse volumique
Dans chaque cas, la troisième donnée pourra être déduite des deux autres en utilisant l’équation (1).
Pour que tout le monde trouve son compte, nous allons exprimer le volume v_{e} pour chacun de ces cas. Triturons donc ces petites équations :).
Résolution du système
En fonction de la masse et du volume de départ
(2), (4) et (5) donnent :
\kern{10pt}\rho_{2}=\dfrac{m_{1}+m_{e}}{v_{1}+v_{e}}
C’est à dire :
\kern{10pt}(v_{1}+v_{e})\rho_{2}=m_{1}+m_{e}
Avec (3), cela nous donne :
\kern{10pt}(v_{1}+v_{e})\rho_{2}=m_{1}+\rho_{e}v_{e}
On cherche v_{e}, donc je le mets en facteur à gauche de l’égalité :
(6)\kern{10pt}v_{e}(\rho_{2}-\rho_{e})=m_{1}-v_{1}\rho_{2}
Ce qui nous donne pour terminer :
(7)\kern{10pt}v_{e}=\dfrac{m_{1}-v_{1}\rho_{2}}{\rho_{2}-\rho_{e}}
Cette première expression du volume d’eau à ajouter utilise la masse et le volume initiaux dans notre seau d’émail. Peut-être est-ce pour vous ce qu’il y a de plus pratique à mesurer. Mais peut-être pas.
Il se peut qu’il soit plus pertinent pour vous de peser le seau (en déduisant la masse du seau vide !) et de mesurer la masse volumique de votre préparation à l’aide d’un broc de 1 litre, par exemple.
En fonction de la masse et de la masse volumique de départ
Repartons de l’équation (6). On obtient, avec (3) :
\kern{10pt}v_{e}(\rho_{2}-\rho_{e})=m_{1}-\dfrac{m_{1}}{\rho_{1}}\rho_{2}
Ordonnons en mettant m_{1} en facteur :
\kern{10pt}v_{e}=m_{1}\dfrac{1-\dfrac{\rho_{2}}{\rho_{1}}}{\rho_{2}-\rho{e}}
Ce qui nous donne finalement :
(8)\kern{10pt}v_{e}=m_{1}\dfrac{\rho_{1}-\rho_{2}}{\rho_{1}(\rho_{2}-\rho_{e})}
En fonction du volume et de la masse volumique de départ
Ce cas-là me semble le moins probable, à moi, mais bon, maintenant que je suis lancée, je vais au bout !
On repart de (6) et on utilise (3) :
\kern{10pt}v_{e}(\rho_{2}-\rho_{e})=v_{1}\rho_{1}-v_{1}\rho_{2}
Ce qui nous donne finalement :
(9)\kern{10pt}v_{e}=v_{1}\dfrac{\rho_{1}-\rho_{2}}{\rho_{2}-\rho_{e}}
😱 Et si on trouve un résultat négatif ?
Bonne question, merci de l’avoir posée 🙂 !
Nous aurions dû, si nous avions été tout à fait rigoureux, mettre une condition supplémentaire à notre système d’équations. Cette condition aurait été :
\kern{50pt}\rho_{2}<\rho_{1}
(C’est à dire qu’on veut faire baisser la masse volumique.)
Avec cette condition, on ne peut que trouver un résultat positif pour v_{e}.
Si on était tout à fait rigoureux, on recommencerait le travail avec la condition opposée :
\kern{50pt}\rho_{2}>\rho_{1}
Dans ce cas, les équations (4) et (5) deviendraient :
(4')\kern{50pt}m_{2}=m_{1}-m{e}
(5')\kern{50pt}v_{2}=v_{1}-v{e}
Ce qui nous donne, tout calcul fait (c’est similaire à ce que nous avons déjà fait, alors je ne réécris pas les étapes) :
(8')\kern{10pt}v_{e}=-m_{1}\dfrac{\rho_{1}-\rho_{2}}{\rho_{1}(\rho_{2}-\rho_{e})}
Mais soyons pragmatiques...
On va se contenter de nos trois premières équations (7), (8) et (9), et dans le cas d’un résultat négatif, on comprendra qu’il faut enlever le volume trouvé (oui, oui : enlever la valeur absolue du volume trouvé, on va pas chipoter quand même !).
Calculette ajustement de densité
Et voilà, on y est. Avec l’expression du volume d’eau à ajouter ou à enlever, on peut programmer les petites calculettes jolies, et les utiliser sans plus avoir besoin de réfléchir ;).
Avec le calcul qu’on a fait précédemment, il est tentant de faire trois calculettes, une pour chacun des cas.
Mais finalement, je crains d’alourdir inutilement la page des calculettes, alors je laisse le soin à l’utilisateur de convertir, si besoin, son couple de données en masse et masse volumique initiales.
Page des calculettes
D’autres calculettes en ligne sont disponibles.
